向量的点积和投影
要计算向量
a
\mathbf{a}
a 在向量
b
\mathbf{b}
b 上的投影，可以分为 投影长度 和 投影向量 两种情况。
1. 投影长度
向量
a
\mathbf{a}
a 在向量
b
\mathbf{b}
b 上的投影长度是：
投影长度
=
a
⋅
b
∥
b
∥
\text{投影长度} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|}
投影长度=∥b∥a⋅b
其中：
a
⋅
b
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}
a⋅b 是点乘。
∥
b
∥
=
b
1
2
+
b
2
2
+
b
3
2
\|\mathbf{b}\| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}
∥b∥=b12+b22+b32
是向量
b
\mathbf{b}
b 的模长。
2. 投影向量
向量
a
\mathbf{a}
a 在向量
b
\mathbf{b}
b 上的投影向量是：
投影向量
=
(
a
⋅
b
∥
b
∥
2
)
b
\text{投影向量} = \left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|^2}\right) \mathbf{b}
投影向量=(∥b∥2a⋅b)b
其中：
分母
∥
b
∥
2
=
b
1
2
+
b
2
2
+
b
3
2
\|\mathbf{b}\|^2 = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2
∥b∥2=b12+b22+b32 是
b
\mathbf{b}
b 的模长平方。
b
\mathbf{b}
b 是向量方向。
3. 推导过程
几何解释
投影长度是
a
\mathbf{a}
a 在
b
\mathbf{b}
b 的方向上的分量大小。投影向量是将投影长度重新沿
b
\mathbf{b}
b 的方向进行缩放，得到在
b
\mathbf{b}
b 方向上的向量。
利用点乘公式：
点乘定义：
a
⋅
b
=
∥
a
∥
∥
b
∥
cos
θ
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos\theta
a⋅b=∥a∥∥b∥cosθ
而投影长度是：
投影长度
=
∥
a
∥
cos
θ
=
a
⋅
b
∥
b
∥
\text{投影长度} = \|\mathbf{a}\| \cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|}
投影长度=∥a∥cosθ=∥b∥a⋅b
为了得到投影向量，我们需要将投影长度乘以
b
\mathbf{b}
b 的单位向量：
投影向量
=
投影长度
⋅
b
∥
b
∥
\text{投影向量} = \text{投影长度} \cdot \frac{\mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|}
投影向量=投影长度⋅∥b∥b
整理得到：
投影向量
=
(
a
⋅
b
∥
b
∥
2
)
b
\text{投影向量} = \left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|^2}\right) \mathbf{b}
投影向量=(∥b∥2a⋅b)b
4. 示例计算
已知：
a
=
(
3
,
4
,
0
)
\mathbf{a} = (3, 4, 0)
a=(3,4,0)，
b
=
(
1
,
2
,
2
)
\mathbf{b} = (1, 2, 2)
b=(1,2,2)
计算
a
⋅
b
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}
a⋅b：
a
⋅
b
=
3
⋅
1
+
4
⋅
2
+
0
⋅
2
=
3
+
8
+
0
=
11
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 0 \cdot 2 = 3 + 8 + 0 = 11
a⋅b=3⋅1+4⋅2+0⋅2=3+8+0=11
计算
∥
b
∥
\|\mathbf{b}\|
∥b∥：
∥
b
∥
=
1
2
+
2
2
+
2
2
=
1
+
4
+
4
=
9
=
3
\|\mathbf{b}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
∥b∥=12+22+22
=1+4+4
=9
=3
投影长度：
投影长度
=
a
⋅
b
∥
b
∥
=
11
3
≈
3.67
\text{投影长度} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|} = \frac{11}{3} \approx 3.67
投影长度=∥b∥a⋅b=311≈3.67
投影向量：
投影向量
=
(
a
⋅
b
∥
b
∥
2
)
b
\text{投影向量} = \left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|^2}\right) \mathbf{b}
投影向量=(∥b∥2a⋅b)b
∥
b
∥
2
=
3
2
=
9
\|\mathbf{b}\|^2 = 3^2 = 9
∥b∥2=32=9
投影向量
=
(
11
9
)
(
1
,
2
,
2
)
=
(
11
9
,
22
9
,
22
9
)
\text{投影向量} = \left(\frac{11}{9}\right) (1, 2, 2) = \left(\frac{11}{9}, \frac{22}{9}, \frac{22}{9}\right)
投影向量=(911)(1,2,2)=(911,922,922)
投影向量
=
(
1.22
,
2.44
,
2.44
)
\text{投影向量} = \left(1.22, 2.44, 2.44\right)
投影向量=(1.22,2.44,2.44)
总结
投影长度：
a
⋅
b
∥
b
∥
\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|}
∥b∥a⋅b投影向量：
(
a
⋅
b
∥
b
∥
2
)
b
\left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|^2}\right) \mathbf{b}
(∥b∥2a⋅b)b
这两个公式可以帮助计算投影的大小和方向。